随机变量

随机变量的概率计算和数字特征

随机变量的概率计算

• **例 1: **设 $X\sim N(3,5^2)$

  （1）求 $P\left \{ 2<X<6 \right \}$

  （2）确定 $c$，使得 $P\left \{ -3c<X<2c \right \}=0.6$

  from scipy.stats import norm
  from scipy.optimize import fsolve
  
  print('p =', norm.cdf(6, 3, 5) - norm.cdf(2, 3, 5))
  # norm.cdf 正态分布的概率分布函数，函数原型为 norm.cdf(x, mu, sigma)
  
  f = lambda c: norm.cdf(2*c, 3, 5) - norm.cdf(-3*c, 3, 5) - 0.6 
  # lambda表达式——简化声明函数的过程
  
  print('c =', fsolve(f, 0)) # fsolve 函数解方程，0 为初始值
  
  # p = 0.3050065916890295
  # c = [2.29103356]
  

• 定义 1：$\alpha$ 分位数 若连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，对于 $0<\alpha<1$ ，若 $x_\alpha$ 使得 $P\left \{ X\le x_\alpha = \alpha \right\}$，则称 $x_\alpha$ 为这个分布的 $\alpha$ 分位数。若 $F(x)$ 的反函数 $F^{-1}(x)$ 存在，则有 $x_\alpha=F^{-1}(\alpha)$。

• 定义 2：上 $\alpha$ 分位数 若连续性随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，对于 $0<\alpha<1$，若 $\widetilde{x}_\alpha$ 使得 $P\left \{ X>\widetilde{x}_\alpha \right \}=\alpha$，则称 $\widetilde{x}_\alpha$ 为这个分布的上 $\alpha$ 分位数。若 $F(x)$ 的反函数 $F^{-1}(x)$ 存在，则 $\widetilde{x}_\alpha=F^{-1}(1-\alpha)$。

• 例 2：计算标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数的值并绘图

  from scipy.stats import norm
  from scipy.optimize import fsolve
  
  alpha = 0.1
  f = lambda c: 1 - norm.cdf(c, 0, 1) - alpha
  
  print('正态分布的上', alpha, '分位数为', fsolve(f, 0))
  
  # 正态分布的上 0.1 分位数为 [1.28155157]
  

  from scipy.stats import norm
  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.linspace(-4, 4, 100)
  y = norm.pdf(x, 0, 1)
  
  fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
  
  ax.plot(x, y, lw=1)
  
  ax.set(xlim=(-4, 4), xticks=np.arange(-4, 5),
         ylim=(0, 0.42), yticks=np.arange(0, 0.5, 0.1))
  
  ax.fill_between(x[x > 1.28155157], 0, norm.pdf(x[x > 1.28155157], 0, 1), alpha=.5, linewidth=0)
  
  plt.show()
  

  

随机变量数字特征

数学期望、方差、偏度和峰度、相关系数、k阶原点矩、k阶中心矩、k+l阶混合矩、k+l阶混合中心矩...